Die relativistische Asynchronmaschine - eine Anwendung der Allgemeinen Relativitätstheorie in der Elektrotechnik?

Anwendungen der Allgemeinen Relativitätstheorie sind bisher in der Astrophysik bekannt, wie etwa die Rotverschiebung oder der langsamere Gang von ruhenden Uhren in einem Gravitationsfeld.
Ungewöhnlich erscheint die Möglichkeit einer Anwendung in der Elektrotechnik. Eine geeignet konstruierte, relativistische Version des Drehstrom-Asynchronmotors könnte als Instrument zum Nachweis des Äquivalenzprinzips dienen und - zumindest theoretisch - Reisen in die Zukunft ermöglichen.

Von Tilmann Schneider

Inhalt

1 Das Äquivalenzprinzip
2 Die Asynchronmaschine
3 Die Maxwellgleichungen
4 Die relativistische Asynchronmaschine
5 Coriolis-Effekt
6 Ausblick
7 Literatur
8 Impressum

Die Allgemeine Relativitätstheorie (AR) ist neben der Quantentheorie zweifellos die wichtigste Grundlage der modernen Physik. Sie basiert auf dem sogenannten Äquivalenzprinzip, das aufgrund der experimentellen Erfahrung auf folgende Weise formuliert werden kann:

• Relativ zu frei fallenden Bezugskörpern gibt es keine Schwerkraft.
• Schwere Masse und träge Masse sind einander gleich.

Daraus ergeben sich einige Folgerungen:

• Die Schwerkraft ist gleichwertig mit der Trägheitskraft.
• Alle Körper fallen gleich schnell.
• Ein mit einem frei fallenden Körper verbundenes Bezugssystem ist ein lokales Inertialsystem (IS).
• Im lokalen IS gelten die physikalischen Gesetze ohne Gravitation auf der Grundlage der Speziellen Relativitätstheorie (SR).
• Beim Übergang vom lokalen IS in beliebig bewegte Bezugssysteme (mit Hilfe von Koordinatentransformationen) sind die physikalischen Gesetze allgemein in beschleunigten Bezugssystemen oder in Gravitationsfeldern anwendbar.
• In der Technik erzeugte Trägheitskräfte (z.B. die Zentrifugalkraft in einem Motor) können als Kräfte eines künstlichen Gravitationsfeldes angesehen werden.

Von besonderem Interesse soll in diesem Artikel die letzte Folgerung sein. Ist es prinzipiell möglich, mit Hilfe eines „relativistischen“ Motors ein künstliches Gravitationsfeld zu erzeugen? Diese Möglichkeit erscheint nicht ausgeschlossen, zumal in Elektromotoren die Maxwellgleichungen Anwendung finden. Diese werden jedoch bei den gegenwärtigen Maschinen nur in einer unvollständigen Form ausgenutzt. Für eine relativistische Maschine würde man die vollständigen Gleichungen benötigen, da diese in ihrer Natur relativistisch sind und sich dann hinsichtlich der AR für beschleunigte Bezugsysteme formulieren lassen. Man muss also nach einer geeigneten Konstruktion suchen. Ein aussichtsreicher Kandidat könnte die Asynchronmaschine mit Kurzschlussläufer sein. Deshalb wird diese Maschine im Folgenden kurz besprochen.

Bei der Asynchronmaschine handelt es sich um eine mit mehrphasigem Wechselstrom betriebene elektrische Maschine, die auf dem Prinzip des rotierenden Magnetfeldes beruht. Hier gelten die Maxwellgleichungen in der Form

d.h. bei den hier verwendeten Strömen niedriger Frequenz wird der Verschiebungsstrom vernachlässigt. Es ist v << c und die Umfangsgeschwindigkeit des Luftspaltfeldes << c (quasistationäres Feld). Liegen die Maxwellgleichungen in dieser Form zu Grunde, so gilt die Galileitransformation

t=t'
φ=ωt'+φ'.

Diese Maschine kann in drei verschiedenen Betriebszuständen genutzt werden. Diese sind

• Motorbetrieb
• Generatorbetrieb
• Bremsbetrieb

Von Interesse ist hier die Anwendung als Motor.
Die Maschine enthält einen ruhenden Teil (den Stator), der aus einem dickwandigen, rohrförmigen Kern mit geschichteten Blechen besteht. An der Innenwand sind axial verlaufende Nuten eingefräst, in die Leiterstäbe eingelassen sind. Diese werden an den Stirnseiten i. d. R. zu drei Wicklungen verschaltet, die räumlich um einen Winkel von 120° versetzt sind. Diese Wicklungen oder Stränge werden von Wechselstömen durchflossen, die ihrerseits um einen zeitlichen Phasenwinkel von 120° versetzt sind. Der Stator wird auf diese Weise zu einem Elektromagneten, der ein umlaufendes magnetisches Drehfeld ausbildet.
Das Drehfeld durchsetzt einen im Stator drehbar gelagerten Zylinder mit geschichteten Blechen, der den Läufer oder Rotor bildet. Läufer und Ständer sind dabei nur durch einen schmalen Luftspalt getrennt. Das Drehfeld verläuft dort radial. Es setzt sich - bedingt durch das Vorhandensein der Wicklungen - aus einer Grundwelle und unendlich vielen Oberwellen zusammen. Das Betriebsverhalten der Maschine wird im Wesentlichen durch die Grundwelle bestimmt, während sich die Oberwellen störend auswirken. Die Grundwelle hat die Form:

B_r(φ,t)=m(B₀/2)cos(ω₀t-pφ); m>2 ganzzahlig        (2.1)

Die Winkelgeschwindigkeit des Feldes wird durch den Quotienten aus Frequenz ω₀ und Polpaarzahl p bestimmt. Für das normale dreiphasige Drehstromsystem ist m=3. Interessant im Hinblick auf die relativistische Maschine ist das durchgeschaltete vierphasige System mit der Besonderheit, dass dieses sich quasi wie ein zweiphasiges System verhält. Dabei gibt es nur zwei um 90° gegeneinander versetzte Wicklungen, deren Wechselströme um eine zeitliche Phase von 90° verschoben sind.
Auch der Rotor besitzt an seiner Außenwand axiale Nuten, in denen Leiterstäbe liegen. Bei der einfachen Ausführung als Käfig- oder Kurzschlussläufer werden diese an den Stirnseiten durch Kurzschlussringe miteinander verbunden. Durch Induktion fließt in den Leiterstäben ein Strom, wodurch der Läufer zu einem Elektromagneten wird. Infolgedessen wird der Läufer vom Drehfeld des Stators mitgezogen und beschleunigt, bis das abgegebene Drehmoment das Lastmoment ausgleicht. Dann ist die Rotordrehzahl ω konstant und bleibt in jedem Fall kleiner als die Drehzahl des Ständers. Der Schlupf s der Maschine ist definiert als

s=1-ω/ω₀.

Daher die Bezeichnung „asynchron“.

Die Maxwellgleichungen lauten in vollständiger Form

In dieser Form lassen sich die Gleichungen in Inertialsystemen und mit krummlinigen räumlichen Koordinaten anwenden. Um sie auch in beschleunigten Bezugssystemen im Rahmen der AR nutzen zu können ist es üblich, sie mit Hilfe der Tensorschreibweise in invarianter Form zu schreiben. Dann tauchen die physikalischen Größen als 4-komponentige Vektoren (Tensoren 1. Stufe) oder Tensoren 2. Stufe auf. Es ist dabei sinnvoll, dass die Größen E, V, t und ρ die gleiche Maßeinheit wie B, A, x und j erhalten. So wird z. B. die elektrische Feldstärke E wie die magnetische Feldstärke in T (Tesla) gemessen, anstelle von V/m. Das skalare Potenzial V und das Vektorpotenzial A werden zu einem elektromagnetischen Potenzial in Gestalt eines (kontravarianten) 4-Vektors zusammengefasst:

(A^α)=(V, A_x , A_y , A_z)

Hier wurden als Beispiel kartesische Koordinaten benutzt. Entsprechend gibt es eine Viererstromdichte

(j^α)=(ρ, j_x , j_y , j_z)

und einen 4-Vektor für Zeit und Raum

(x^α)=(t , x , y , z) .

Die Komponenten kontravarianter Vektoren werden durch hochgestellte Indizes gekennzeichnet. Den kovarianten Vektor erhält man durch Multiplikation mit dem kovarianten metrischen Tensor 2. Stufe g_αβ:

A_α =g_αβA^β .

In der SR lautet der metrische Tensor (als Matrix geschrieben) in kartesischen Koordinaten:

(gαβ)=		1	0	0	0
		0	-1	0	0
		0	0	-1	0
		0	0	0	-1

In der AR ist der metrische Tensor i. a. zeit- und ortsabhängig und hat den Charakter eines Gravitations- oder Trägheitspotenzials. Er hat die Symmetrieeigenschaft g_αβ= g_βα.
Da in der Relativitätstheorie als zusätzliche vierte Dimension die Zeit zur Verfügung steht, ergibt sich eine bemerkenswerte Sichtweise der Maxwellschen Gleichungen: Die elektrische Feldstärke E und die magnetische Feldstärke B, zwei Grundkräfte der Natur, werden jede für sich normalerweise als 3-dimensionale Vektoren dargestellt. In der Maxwellschen Theorie werden durch die Vierdimensionalität beide Felder zu einem einzigen, elektromagnetischen Feld vereinigt:

(Fαβ)=		0	Ex	Ey	Ez
		-Ex	0	-Bz	By
		-Ey	Bz	0	-Bx
		-Ez	-By	Bx	0

In dieser Schreibweise wird deutlich, dass elektrische und magnetische Feldstärke keine wesentlich unterschiedlichen physikalischen Größen sondern vielmehr gleichberechtigt sind. Die Gleichungen (3.1) lassen sich jetzt zusammenfassen zu

(3.3)

Entsprechend gilt für die Gleichungen (3.2)

(3.4)

wobei g = -det(g_αβ) ist. Es ist ferner F^αβ= g^αχg^βδF_χδ .

In diesen verallgemeinerten Maxwellgleichungen taucht implizit der metrische Tensor auf. Dies liefert einen Hinweis auf die Möglichkeit eine Maschine zu beschreiben, die mit Hilfe eines elektromagnetischen Feldes eine rotierende Bewegung und damit ein metrisches Feld erzeugt, das seinerseits Zentrifugalkräfte hervorruft. Dieser Sachverhalt ist typisch für Drehfeldmaschinen wie z. B. den Asynchronmotor.

Als Ansatz für die Konstruktion der Maschine greifen wir auf ein Bauelement aus der Hochfrequenztechnik zurück, den zylindrischen Hohlraumresonator. Er ist rotationssymmetrisch und in ihm gelten die Maxwellschen Gleichungen in ihrer vollständigen Form. Es soll das hochfrequente, elektromagnetische Feld eines bestimmten Schwingungstyps, des sogenannten TM₁₁₀-Typs, angeregt werden. Dieser Typ wird durch die Maxwellschen Gleichungen und durch die Randbedingungen festgelegt. Er liegt bei gleicher Resonanzfrequenz in zweifach entarteten Moden vor, d.h. beide Moden lassen sich unabhängig voneinander anregen und überlagern (mit J₁ = Besselfunktion 1. Ordnung, η = normierter Radius):

Mode 1:
E_z(r,φ,t)=E₀J₁(η)cosω₀tcosφ
B_r(r,φ,t)=E₀[J₁(η)/η]sinω₀tsinφ
B_φ(r,φ,t)=E₀J₁'(η)sinω₀tcosφ

Mode 2:
E_z(r,φ,t)=E₀J₁(η)cosω₀tsinφ
B_r(r,φ,t)=-E₀[J₁(η)/η]sinω₀tcosφ
B_φ(r,φ,t)=E₀J₁'(η)sinω₀tsinφ

Die Resonanzfrequenz ergibt sich zu

ω₀=η₁₁c/R .

(η₁₁=1. Nullstelle der Besselfunktion 1. Ordnung, c=Lichtgeschwindigkeit, R=Radius des Resonators). Die Feldstrukturen beider Moden sind in sich identisch, gegeneinander aber räumlich um einen Winkel von 90° versetzt. Damit sind wir bei dem weiter oben angesprochenen Fall der zweiphasigen Maschine angelangt. Die Anregung der Moden kann z.B. durch induktive Einkopplung über zwei Koaxialkabel erfolgen, die jeweils an zwei auf dem Zylindermantel um 90° versetzte Bohrungen angelötet sind.

Geschieht die Anregung der zweiten Mode nun derart, dass sie eine zeitliche Verzögerung um T/4 gegenüber der Anregung der ersten aufweist, so können beide Moden zu einem elektromagnetischen Drehfeld überlagert werden:

E_z(r,φ,t)= E₀J₁(η)(cosω₀tcosφ+sinω₀tsinφ)= E₀J₁(η)cos(ω₀t-φ)
B_r(r,φ,t)= E₀[J₁(η)/η](sinω₀tsinφ+cosω₀tcosφ)= E₀[J₁(η)/η]cos(ω₀t-φ)
B_φ(r,φ,t)= E₀J₁'(η)(sinω₀tcosφ-cosω₀tsinφ)= E₀J₁'(η)sin(ω₀t-φ)

Diese Feldkomponenten resultieren aus dem elektromagnetischen Potenzial

A_z(r,φ,t)= -(E₀/ω₀)J₁(η)sin(ω₀t-φ) + Eichterm,        (4.1)

das sich als Lösung der Wellengleichung

ΔA_z=∂²A_z/∂t²       (4.2)

ergibt. Das Drehfeld rotiert mit einer Drehzahl, die gleich der Resonanzfrequenz der Mode ist (n₀=f₀). Die Struktur des magnetischen Feldes ähnelt dabei derjenigen, die von der konventionellen Asynchronmaschine bekannt ist (Polpaarzahl p=1). Die Führung des Magnetfeldes wird im Gegensatz zur konventionellen Asynchronmaschine nicht durch einen massiven, runden Eisenkern und -mantel, sondern durch die metallenen Innenflächen des zylindrischen Hohlraumresonators bewirkt. Die Feldlinien des elektrischen Feldes stehen senkrecht zum Magnetfeld und verlaufen parallel zur Zylinderachse.
Bei dem Radius η₀ = 1,8412 verschwindet J₁'(η) und wir haben

B_r(r₀,φ,t)= E₀[J₁(η₀)/η₀]cos(ω₀t-φ) .

Diese Gleichung beschreibt bis auf den Amplitudenwert einen Feldverlauf ähnlich dem des Luftspaltfeldes [Gleichung (2.1) mit p=1]. Im Gegensatz zur herkömmlichen Asynchronmaschine besteht hier das Feld konstruktionsbedingt nur aus einer Grundwelle.
Im Boden und im Deckel des Resonators befinden sich je eine kleine Bohrung. In diesen Bohrungen wird ein Kurzschlussläufer drehbar gelagert. Er besteht aus zwei gleich großen, rechteckigen und in sich geschlossenen Leiterschleifen. Diese sind gegeneinander um 90° gekreuzt angeordnet und miteinander verlötet. Der Läufer hat dann die Gestalt einer Kreuzrahmenantenne (ähnlich denen, wie sie manchmal für Funkpeilungen benutzt werden) und wird vom Drehfeld durchsetzt.

Um ein brauchbares mathematisches Modell entwickeln zu können wollen wir annehmen, dass das Drehfeld vom Läufer nur sehr wenig gestört wird.
Das bei η₀ = 1,8412 vorhandene elektrische Feld ist eine zur Drehachse parallele Komponente

E_z(r₀,φ,t)= E₀J₁(η₀)cos(ω₀t-φ)

wodurch sich ein Spannungsabfall über den zur z-Achse parallelen Leitern des Läufers ergibt. Für diese Leiter gilt aufgrund des Ohmschen Gesetzes und der hohen Frequenzen für die Impedanz

(l=Länge, d=Durchmesser und κ=Leitfähigkeit des Leiters).
Mit steigender Frequenz erhöht sich der Wirkwiderstand, wodurch das von den herkömmlichen Maschinen bekannte Prinzip der Stromverdrängung im Kurzschlussläufer in Erscheinung tritt.
Die in den Leitern fließenden Ströme erzeugen zusammen mit dem Magnetfeld B_r über Lorentzkräfte ein Drehmoment. Infolgedessen wird der Läufer vom Drehfeld mitgezogen und in eine Rotationsbewegung versetzt. Er beschleunigt, wenn das Anfahrmoment

M_A=[lE₀J₁(η₀)]²/(ω₀R_v)

größer als das Lastmoment ist (wenigstens verursacht durch Reibungsverluste in den Lagern). Durch die Abnahme der Relativgeschwindigkeit zwischen Drehfeld und Läufer wird die Induktion verringert und damit das Drehmoment kleiner, bis es gleich dem Lastmoment ist. Je nach Größe des Lastmomentes stellt sich eine bestimmte konstante Drehzahl ein. Für diese stationären Betriebszustände lässt sich für jede Drehzahl das vom Läufer abgegebene Drehmoment berechnen, wenn man die Stärke des elektromagnetischen Feldes vom Läufer aus gesehen kennt. Dazu ist eine geeignete Koordinatentransformation zwischen dem ruhenden Bezugssystem (dem Inertialsystem) und dem rotierenden Bezugssystem erforderlich.
Wir geben zunächst die Tensordarstellungen für das elektromagnetische Feld und das metrische Feld für das ruhende System in Zylinderkoordinaten an:

(Fαβ)=		0	0	0	Ez
		0	0	0	Bφ
		0	0	0	-(r/R)Br
		-Ez	-Bφ	(r/R)Br	0

(gαβ)=		1	0	0	0		(4.3)
		0	-1	0	0
		0	0	-(r/R)2	0
		0	0	0	-1

Jetzt wird eine allgemeine Transformation V zwischen ruhendem System S und rotierendem System S' angesetzt:

Die Koordinaten t' und φ' sind jedoch nicht unbedingt als “Zeit” und “Winkel” zu interpretieren (allgemeine Relativitätstheorie).

In Tensorschreibweise gilt dann für die Transformation V des 4-Ortsvektors x^α=V^α_βx'^β mit

(Vαβ)=		l	0	m	0
		0	1	0	0
		n	0	o	0
		0	0	0	1

Das elektromagnetische Feld und das metrische Feld transformieren sich dann in folgender Weise:

F'_αβ= V^χ_αV^δ_β F_χδ
g'_αβ= V^χ_αV^δ_β g_χδ

Die Aufgabe besteht nun darin, die unbekannten Transformationsparameter l, m, n und o zu bestimmen. Dazu legen wir zunächst das elektrodynamische Potenzial geeignet fest. Wir wählen den Eichterm in Gleichung (4.1) zu Null und fordern, dass sich das Potenzial (A_α)=(0,0,0,-A_z) wie ein Tensor 1. Stufe transformiert:

A'_α= V^β _α A_β , d.h. A'_z=A_z       (4.5)

Für beliebige krummlinige Koordinatensysteme oder Bezugsysteme ergibt sich mit Hilfe der Maxwellgleichungen (3.3),(3.4) die Verallgemeinerung der Wellengleichung (4.2):

Die g^αβ ergeben sich dabei über die Beziehung g^ανg_νβ=δ^α_β.
Um den Übergang vom ruhenden in das rotierende Bezugssystem des Rotors zu vollziehen, ersetzen wir in der Wellengleichung die ungestrichenen Größen durch gestrichene. Dann bietet das Lösen der Wellengleichung eine Möglichkeit, die gesuchten Transformationsparameter zu finden. In die Wellengleichung setzen wir die g'^αβ ein, welche die zunächst unbekannten Parameter enthalten. Den Ansatz für das einzusetzende A'_z erhalten wir aus (4.5):

A'_z(r,φ',t')= -(E₀'/ω₀')J₁(η)sin(ω₀'t'-φ')= -(E₀/ω₀)J₁(η)sin(ω₀t-φ)       (4.6)

Dieser Ansatz ist offenbar nur dann möglich, wenn sich zur Lösung der Wellengleichung eine Separation so durchführen lässt, dass in ihr die Besselsche Differentialgleichung 1. Ordnung auftritt. Das bedeutet aber, dass die Transformationsparameter unabhängig von Zeit- und Raumkoordinaten sein müssen. Denn dann erhält man durch eine neue Normierung des Radius einerseits und durch einen Koeffizientenvergleich andererseits aus der Besselschen Differentialgleichung zwei Gleichungen zur Bestimmung der Parameter:

η=(r/R)(n+oω₀'R/c)/(lo-mn)      (4.7)
1=(l+mω₀'R/c)/(lo-mn)           (4.8)

Da die 1. Nullstelle der Besselfunktion 1. Ordnung stets konstant ist (η₁₁) ergibt sich mit (4.7),(4.8) ein Zusammenhang zwischen ω₀ und ω₀':

ω₀R/c=(n+oω₀'R/c)/(l+mω₀'R/c)      (4.9).

Aus (4.6) haben wir die beiden Beziehungen

E₀'/ω₀'= E₀/ω₀       (4.10)
ω₀'t'-φ'= ω₀t-φ      (4.11).

Weiterhin müssen wir berücksichtigen, dass sich der Rotor gegenüber dem Stator mit der Winkelgeschwindigkeit ω dreht [siehe (4.4)]:

φ'=const.:   →   dφ/dt=ω    →   ω=n/l   (4.12)
φ=const.:   →   dφ'/dt'=-ω    →   l=o   (4.13)

Mit (4.9), (4.12) und (4.13) erhalten wir:

ω'₀/ω₀=(1-v)/(1-ω₀m/l)   (4.14)

mit v=ω/ω₀=n/f₀.

Die Konstante m/l ergibt sich aus folgender Betrachtung: Das schwingende Feld mit der Frequenz ω₀ bildet eine stehende Welle, die sich in eine mit dem Uhrzeigersinn drehende Welle (Frequenz ω₀) und eine entgegen dem Uhrzeigersinn drehende Welle (Frequenz ω₀) zerlegen lässt.

Dreht der Läufer sich im Uhrzeigersinn mit der Winkelgeschwindigkeit ω (Abb.), so begegnen sich Läufer und gegenläufiges Drehfeld am Ort A₂ zur Zeit

t₁=κ₁/ω=(-φ+κ₁)/(-ω₀).

Andererseits überholt das mitlaufende Drehfeld den Läufer am Ort B₂ zur Zeit

t₂=κ₂/ω=(φ+κ₂)/ω₀.

Daraus ergibt sich:

κ₁=φv/(1+v),
κ₂=φv/(1-v).

Wir definieren den Quotienten s=t₁/t₂ und erhalten

s=(1-v)/(1+v)=[ω₀(1-v)]/[ω₀(1+v)]=ω₀'/ω₀    (4.15).

Ein Vergleich von (4.15) mit (4.14) ergibt

m/l=-v/ω₀   (4.16).

Mit (4.8), (4.12), (4.13), (4.15) und (4.16) erhalten wir die gesuchte Transformation

(Vαβ)=1/(1+v)		1	0	-v/η11	0		(4.17).
		0	1+v	0	0
		vη11	0	1	0
		0	0	0	1+v

Gleichnung (4.15) lässt sich auch schreiben als

1=(s+v)/(1-sv).

Mit s=tanσ und v=tanα erhalten wir für die relativistische Addition von Winkelgeschwindigkeiten:

π/4=σ+α.

Die Größe s ist der Schlupf der relativistischen Maschine. Sie könnte auch als Rotverschiebungsfaktor bezeichnet werden, denn die Resonanzfrequenz erscheint dem Beobachter auf dem Rotor rotverschoben. Gemäß (4.10) gilt auch s=E₀'/E₀. Dies sind schon von der herkömmlichen Asynchronmaschine vertraute Beziehungen.
Für den Sonderfall, dass die Drehzahl des Rotors sehr viel kleiner als die Resonanzfrequenz des Resonators ist (v<<1)erhalten wir die Näherungsformel

t≈t'-(v/ω₀)φ'
φ≈ωt'+φ'.

Die Transformation (4.17) lässt sich anschaulich in einem Raum-Zeit-Diagramm mit den Koordinaten t und φ darstellen (Abb.). Werden die Achsen φ, φ', t und t' normiert, wobei ω₀ in den Normierungen für t und t' mit enthalten ist, dann gilt

t=(t'-vφ')/(1+v)
φ=(vt'+φ')/(1+v).

Die normierte synchrone Winkelgeschwindigkeit ω₀ wird durch eine Winkelhalbierende im System S dargestellt. Für den Phasenterm (4.11) gilt st'-φ'=t-φ. Mit v=tanα ist

t=(t'cosα-φ'sinα)/(cosα+sinα)
φ=(t'sinα+φ'cosα)/(cosα+sinα).

Dies bedeutet, dass beim Übergang vom ruhenden System S in das rotierende System S' die Raumzeit um den Winkel α gedreht und um den Faktor (cosα+sinα) gestaucht wird. Um die Raumzeit (t',φ') geometrisch zu konstruieren, werden zunächst die Achsen t und φ willkürlich skaliert. Nun wird der Schlupf s mit Hilfe des Strahlensatzes auf der t-Achse abgetragen. Betrachten wir das Ereignis P(s,1) in S, so erhalten wir gemäß Transformation t'=1 und φ'=1 in S'. Man beachte, dass die Skalierung der t'-Achse und φ'-Achse kleiner ist. Hier lässt sich jetzt für die normierte Winkelgeschwindigkeit des Drehfeldes der Wert s auf der φ'-Achse ablesen.
Das System S' kann auch als „virtuelle Raumzeit“ bezeichnet werden. Die Koordinaten t' und φ' sind durch (4.17) eindeutig festgelegt - man kann sie zwar “sehen” (mit Hilfe mathematischer Berechnungen), aber nicht direkt messen (ähnlich wie bei einem Spiegelbild, das man nur sehen aber nicht als reeles Bild auffangen und ausmessen kann). Sie sind auch wie oben erwähnt nicht mehr als “Zeit” und “Winkel” anzusehen. Messbar ist und somit eine physikalische Bedeutung hat hingegen das durch die metrische Fundamentalform gegebene Raumzeitintervall

ds²=c²dτ²=g_µνdx^µdx^ν=g'_µνdx'^µdx'^ν

Nun können wir auch die gesuchten Felder im System S' angeben:

(F'αβ)=		0	0	0	sEz		(4.18)
		0	0	0	Bφ
		0	0	0	-(r/R)Br
		-sEz	-Bφ	(r/R)Br	0

(g'αβ)=		g'00	0	g'02	0
		0	-1	0	0
		g'20	0	g'22	0
		0	0	0	-1

mit

g'₀₀=[1-(vη)²]/(1+v)²
g'₀₂=g'₂₀= -v(1+η²)/[η₁₁(1+v)²]
g'₂₂=(v²-η²)/[η₁₁(1+v)]²

Für den Fall des stillstehenden Rotors (v=0) reduzieren sich diese Komponenten der Metrik wieder auf die in (4.3).
Jetzt kann die Fliehkraft berechnet werden, die auf den rotierenden Läufer einwirkt. Diese erscheint einem Beobachter, der sich auf dem Läufer befindet, wie eine radial nach außen weisende Gravitationskraft. In der AR werden diese Kräfte mit Hilfe der Christoffelsymbole beschrieben:



Diese Symbole sind das „Analogon“ hinsichtlich der Gleichungen (3.3) in der Elektrodynamik.
Von allen Symbolen kommt für die Zentrifugalkraft nur die Radialkomponente Γ¹₀₀ in Frage. Zusätzlich benötigen wir noch die 4-Geschwindigkeit u' des Beobachters auf dem Rotor. Ausgehend von der metrischen Fundamentalform

ds²=g'_µν dx'^µdx'^ν

gilt (u'^µ)=[c/(g'₀₀)^1/2,0,0,0]. Mit den Bewegungsgleichungen



folgt dann für die Schwerebeschleunigung

b_r= -Γ¹₀₀(u'⁰)²= γ²ω²r

mit γ²=1/[1-(ωr/c)²]. Für ωr << c erhalten wir den bekannten Ausdruck aus der klassischen Mechanik.

Für die 4-Geschwindigkeit des Beobachters vom ruhenden System aus gesehen gilt

u^ν= V^ν_µu'^µ= (u_t,u_r,u_φR/r,u_z)= γ(c,0,ωR,0) .

Ein Körper, der sich vom rotierenden Läufer löst, wird sich also tangential entlang einer Geraden mit der konstanten 4-Geschwindigkeit

u_t=γc,   u_φ=γωr= γv_φ

bewegen, was im Einklang mit der Speziellen Relativitätstheorie steht.

Den gesuchten Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehzahl im Inertialsystem erhalten wir mit Hilfe des elektromagnetischen Feldes (4.18) zu

M(n)=M_A[1-(n/f₀)²]^1/2 .

Dabei haben wir noch das modifizierte Ohmsche Gesetz

j'_z=κE'_z/[g'₀₀(r₀)]^1/2

verwendet. Sollte sich die Maschine dem Zusammenhang M(n) entsprechend verhalten, so wäre ein weiterer Beweis für die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips und damit der AR erbracht.

Die Darstellungen für die Felder lassen sich noch für beliebige Polpaarzahlen p erweitern. Dann gilt

A'_z(r,φ',t')= -(E_p1'/ω_p1')J_p(η)sin(ω'_p1t'-pφ')

mit s=(1-pv)/(1+pv) und ω'_p1=sη_p1c/R. p ist dabei ein ganzzahliger diskreter Eigenwert wobei das Vorzeichen entscheidet, welche Drehrichtung das Drehfeld aufweist. Es ist naheliegend, den Schlupf s ebenfalls als Eigenwert aufzufassen, der kontinuierlich ein Band zwischen 1 (Motorstillstand) und 0 abdeckt. Dadurch, dass es unendlich viele Eigenwerte p gibt erhalten wir auch unendlich viele „Eigenmetriken“

g'₀₀=[1-(vη)²]/(1+pv)²
g'₀₂=g'₂₀=-p²v[1+(η/p)²] /[η_p1(1+pv)²]
g'₂₂=(p/η_p1)²[(pv)²-(η/p)²] /(1+pv)²

und „Eigentransformationen“

(Vαβ)=1/(1+pv)		1	0	-p2v/ηp1	0		.
		0	1+pv	0	0
		vηp1	0	1	0
		0	0	0	1+pv

Zur Diskussion des Coriolis-Effektes werden die Bewegungsgleichungen aufgestellt. Die Christoffelsymbole lauten:

Γ⁰₀₁=Γ⁰₁₀=(v²/r)/(1+v²),

Γ⁰₁₂=Γ⁰₂₁=(v/η₁₁r)/(1+v²),

Γ¹₀₀=-r(ω/c)²/(1+v)²,

Γ¹₀₂=Γ¹₂₀=-(r/R)/(ω/c)/(1+v)²,

Γ¹₂₂=-(r/R²)/(1+v)²,

Γ²₀₁=Γ²₁₀=(η₁₁v/r)/(1+v²),

Γ²₁₂=Γ²₂₁=(1/r)/(1+v²).

Alle anderen Γ^κ_µν sind gleich Null. Ist ω=0 (Läuferstillstand), so verbleiben für den Fall der Polarkoordinaten:

Γ¹₂₂=-r/R²,

Γ²₁₂=Γ²₂₁=1/r.

Damit ergeben sich die Bewegungsgleichungen

du'⁰/dτ=-2Γ⁰₀₁u'⁰u'¹-2Γ⁰₁₂u'¹u'²,

du'¹/dτ=-Γ¹₀₀(u'⁰)²-2Γ¹₀₂u'⁰u'²-Γ¹₂₂(u'²)²            (5.1),

du'²/dτ=-2Γ²₀₁u'⁰u'¹-2Γ²₁₂u'¹u'²,

du'³/dτ=0.

Ferner gilt für einen Massekörper (ds>0) die Nebenbedingung

c²=g'₀₀(u'⁰)²+g'₁₁(u'¹)²+2g'₀₂u'⁰u'²+ g'₂₂(u'²)²+g'₃₃(u'³)²      (5.2).

Wir betrachten einen Körper, der sich vom Zentrum mit einer konstanten Geschwindigkeit υ_r entfernt. Im Ruhesystem S bewegt sich der Körper dann im freien Fall (b_r=0) entlang einer Geraden (Radius), die eine Geodäte darstellt. Es gilt für die 4-Geschwindigkeit

u^ν=γ(c,υ_r,0,0)

mit γ=[1-(υ_r/c)²]^-1/2. Im rotierenden System S' muss dann wegen u^ν=V^ν_µu'^µ gelten:

u'⁰=kγc,
u'¹=γυ_r,
u'²=-kγωR,
u'³=0,

mit k=(1+v)/(1+v²). Die Integration x'^µ=∫u'^µdτ ergibt

t'=kγcτ,
r=γυ_rτ,
φ'=-kγωRτ,
z=0.

Da bei einer affinen Transformation Geodäten wieder in Geodäten übergehen, muss die Bahnkurve in S' ebenfalls eine Geodäte sein, wie man durch Einsetzen in (5.1) und (5.2) nachprüfen kann (b'_t'=b'_r=b'_φ'=0). Die Elimination von τ ergibt

r=-υ_r/(kωR)φ'      (5.3).

Die Geodäte ist eine Archimedische Spirale.

Um die Bahnkurve eines masselosen Photons (ds=0) zu bestimmen, muss in (5.1) ein anderer Parameter (λ statt τ) gewählt werden. Außerdem gilt jetzt die Nebenbedingung

0=g'₀₀(u'⁰)²+g'₁₁(u'¹)²+2g'₀₂u'⁰u'²+ g'₂₂(u'²)²+g'₃₃(u'³)².

Als 4-Geschwindigkeit in S setzen wir an:

u^ν=(c,c,0,0).

Im rotierenden System S' ist dann

u'⁰=kc,
u'¹=c,
u'²=-kωR,
u'³=0.

Die Integration x'^µ=∫u'^µdλ ergibt

t'=kcλ,
r=cλ,
φ'=-kωRλ,
z=0.

Analog zu (5.3) erhalten wir

r=-c/(kωR)φ'      (5.4).

Ein von der Drehachse radial nach außen verlaufender Teilchenstrahl würde etwa entgegen der Drehbewegung gekrümmt werden, ähnlich dem Wasserstrahl bei einem rotierendem Rasensprenger. Insbesondere beschreibt (5.4) eine Lichtablenkung.

Besteht die Möglichkeit, eine derartige Maschine überhaupt zu bauen? Die technologischen Herausforderungen denen man hier begegnet sind gewaltig. Das Problem ist, dass die relativistische Maschine extreme Betriebsdaten aufweist: Stellen wir uns eine Maschine vor, die einem Durchmesser von einigen Metern hat. Eine solche Maschine hätte eine Resonanzfrequenz (= synchrone Drehzahl) in der Größenordnung 10⁶-10⁷ 1/s. Damit ließen sich theoretisch sehr hohe Drehzahlen erzielen. Dem steht jedoch entgegen, dass der Rotor nur eine begrenzte Festigkeit hat - er würde durch die große Zentrifugalkraft unweigerlich zerreißen. Hinzu kommt noch, dass durch die hohe Resonanzfrequenz die Maschine ein äußerst schwaches, geradezu mikroskopisch kleines Anfahrmoment liefert. Das Moment könnte vergrößert werden, indem man die Feldstärke im Resonator erhöht. Diese Möglichkeit wird jedoch dadurch eingeschränkt, dass 1. die Durchschlagsfeldstärke nur endlich groß ist und dass 2. im Rotor beim Anfahren eine hohe Verlustleistung auftritt, die zur Zerstörung führt.
Von diesen Schwierigkeiten abgesehen könnte man mit einer solchen Maschine interessante physikalische Phänomene untersuchen:
Zeitreisen. Die Maschine könnte „zweckentfremdet“ werden, um in die Zukunft zu reisen. Für den Beobachter auf dem Rotor gilt dφ'=0. Dann folgt daraus ein Zusammenhang zwischen der Eigenzeit des Beobachters auf dem Rotor und der Zeit eines im Inertialsystem (d.h. neben dem Stator) ruhenden Beobachters:

dτ = [1-(ωr/c)²]^1/2dt

Es ergibt sich eine Differenz zwischen den Zeiten, die bei beiden Beobachtern verstreicht. Dies ist treffend für den Begriff „Asynchronmaschine“: Nicht nur bezüglich der Drehzahlen verhält sich die Maschine asynchron, sondern auch die Zeitläufe von Uhren sind nicht mehr gleichlaufend. Der Beobachter auf dem Rotor altert langsamer als der Ruhende. Dieser Effekt ist umso stärker, je höher die Drehzahl oder der Abstand vom Zentrum ist.

Hermann Weyl, „Raum, Zeit, Materie“, 7. Auflage, Springer-Verlag, 1988
Albert Einstein, „Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie“, 23. Auflage, Vieweg-Verlag, 1988
Torsten Fließbach, „Allgemeine Relativitätstheorie“, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 1995
Annette Garbe, „Die partiell konventional, partiell empirisch bestimmte Realität physikalischer RaumZeiten“, 1. Auflage, Königshausen & Neumann, 2001
Günther Lehner, „Elektromagnetische Feldtheorie“, 1. Auflage, Springer-Verlag, 1990
Otto Zinke, H. Brunswig, „Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Band 1“, 3. Auflage, Springer-Verlag, 1986
Hans Otto Seinsch, „Grundlagen elektrischer Maschinen und Antriebe“, 3. Auflage, Teubner-Verlag, 1993

Titel: Die relativistische Asynchronmaschine - eine Anwendung der Allgemeinen Relativitätstheorie in der Elektrotechnik?
Verfasser: Tilmann Schneider
URL: http://www.relativistische-asynchronmaschine.de
E-Mail: admin@relativistische-asynchronmaschine.de
Rev. 10.0, 14.11.2009
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