Der relativistische Quanten-Hall-Effekt

Dieser Effekt ist eine Variante des Quanten-Hall-Effekts, bei dem die Gravitation den Wert des Hall-Widerstandes leicht beeinflusst. Damit könnte die Gravitationskonstante gemessen werden.

Von Tilmann Schneider

Inhalt

1 Quanten-Hall-Effekt
2 Relativistischer Quanten-Hall-Effekt
3 Literatur
4 Impressum

1 Quanten-Hall-Effekt

Der Quanten-Hall-Effekt ermöglicht eine sehr genaue Widerstandsmessung, da hier der Hall-Widerstand nur von Naturkonstanten abhängt. Zur Herleitung gehen wir von einer elektrisch leitenden Platte aus, die die Dicke d, die Breite b und die Länge l besitzt. Die Platte wird der Länge nach von einem Strom I_y durchflossen. Senkrecht zur Platte liegt ein magnetisches Feld der Stärke B_z. Infolge dessen wird auf ein einzelnes Elektron die Lorentzkraft

K_L=lB_zI_y/N

ausgeübt (N = Anzahl aller in der Platte vorhandenen Elektronen). Die sich am Rand aufstauenden bzw. fehlenden Elektronen verursachen ein elektrisches Feld E_H, dessen Kraft

K_H=-eE_H (1.1)

auf die Elektronen die Lorentzkraft kompensiert. Es ergibt sich für die Hall-Spannung

U_H=bE_H=-blB_zI_y/(Ne) .

Gilt für die Plattenabmessungen d<<l, d<<b, so liegt ein 2-dimensionales Elektronengas vor. Für die Zahl der Elektronen gilt

N=eblB_zi/h, i=1,2,3,...

(h = Plancksches Wirkungsquantum). Anschaulich kommt die Quantisierung dadurch zustande, dass die Elektronen infolge des starken Magnetfeldes Kreisbewegungen ausführen (Zyklotronresonanz). Quantenmechanisch sind entlang dieser Kreisbahnen nur stehende Wellen erlaubt.
Für die Hall-Spannung gilt dann

U_H=-R_HI_y

mit dem Hall-Widerstand

R_H=h/(ie²) .

2 Relativistischer Quanten-Hall-Effekt

Um den relativistischen Quanten-Hall-Effekt zu beschreiben, muss Gleichung (1.1) verallgemeinert werden. Für die kovariante Form der Kraft gilt mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor F_µν:

K_µ=-eF_µνu^ν

mit der Vier-Geschwindigkeit

(u^ν)=(u⁰,u¹,u²,u³) .

Ferner gilt für die Lichtgeschwindigkeit:

c²=u_νu^ν=g_µνu^µu^ν .

Um die Messung des Quanten-Hall-Effekts in einem Gravitationsfeld durchzuführen, wird von einem ruhenden Versuchsaufbau z.B. an der Erdoberfläche ausgegangen. Es ist dann

(u^ν)=(u⁰,0,0,0)

und

c²=g₀₀(u⁰)² .

Es folgt dann für u^ν:

(u^ν)=[c/(g₀₀)^1/2,0,0,0] .

Damit gilt

K_µ=-eF_µ0u⁰

oder in Komponentenschreibweise analog zu (1.1):

K_H=-eE_H/(g₀₀)^1/2 .

Der Wert für g₀₀ ergibt sich aus der Schwarzschild-Metrik

(g_µν)=	1-r_s/r	0	0	0
	0	-1/(1-r_s/r)	0	0
	0	0	-r²	0
	0	0	0	-r²(sinθ)²

mit dem Schwarzschild-Radius

r_s=2GM/c² .

Daraus resultiert ein modifizierter Wert für R_H:

R'_H=R_H(1-r_s/r)^1/2≈R_H(1-GM/rc²) .

Für M und r sind dabei die Erdmasse bzw. der Erdradius einzusetzen. Daraus ergibt sich für GM/rc² ein Wert von etwa 7·10^-10. Gelänge es, die Messgenauigkeit des Quanten-Hall-Effektes auf wenigstens 10^-12 zu steigern, könnte die Gravitationskonstante G bestimmt werden.

3 Literatur

Hermann Weyl, „Raum, Zeit, Materie“, 7. Auflage, Springer-Verlag, 1988
Torsten Fließbach, „Allgemeine Relativitätstheorie“, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 1995
Hajdu, Kramer, „Der Quanten-Hall-Effekt“, Phys. Bl., 41, (1985), 401-406

4 Impressum

Titel: Der relativistische Quanten-Hall-Effekt
Verfasser: Tilmann Schneider
URL: http://www.relativistische-asynchronmaschine.de
E-Mail: admin@relativistische-asynchronmaschine.de
Rev. 3.0, 14.11.2009
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